Um problema central na análise de dados multivariados é a redução da dimensionalidade: é possível descrever com precisão a informação contida nos dados mensurados em \(p\) variáveis utilizando um conjunto \(r < p\) de novas variáveis, perdendo a menor quantidade de informação possível?
A análise de componentes principais tem este objetivo: dadas \(n\) observações de \(p\) variáveis, se analisa se é possível representar adequadamente esta informação com um número menor de variáveis construídas como combinações lineares das variáveis originais.
Dado um conjunto de variáveis \(\mathbf{x} = [X_1 \hspace{0.1cm} X_2 \hspace{0.1cm} \cdots \hspace{0.1cm} X_p]^t\), podemos encontrar outro conjunto de variáveis \(\mathbf{y} = [Y_1 \hspace{0.1cm} Y_2 \hspace{0.1cm} \cdots \hspace{0.1cm} Y_r]^t\), dadas por
\[Y_i= \displaystyle{\sum_{j=1}^p a_{ij}X_j}, \,\, i = 1, \cdots, r < p\]
de tal forma que a informação contida em \(\mathbf{x}\) esteja sendo bem representada por \(\mathbf{y}\)?
Vamos encontrar combinações lineares para representar informação.
\[🤔 \text{O que é } \textbf{informação}?\]
Informação \(\Longrightarrow\) Variância: quanto maior a variabilidade, maior a informação contida nos dados, maior a variância dos dados
Outra questão importante:
\[🤔 \text{O que é } \textbf{uma boa representação da informação}?\]
Boa representação da informação \(\Longrightarrow\) tomar as componentes de \(\mathbf{y}\) que assegurem uma variância similar à de \(\mathbf{x}\)
Nestas condições, temos que buscar combinações lineares \(\mathbf{y}\) das variáveis \(\mathbf{x}\) de forma que se maximize a variância
\[ \begin{array}{c @{\quad} c @{\quad} c} \hline \textbf{Variáveis Originais} & & \textbf{Combinações Lineares} \\ \hline X_1 & & Y_1 \\ X_2 & & Y_2 \\ \vdots & & \vdots \\ X_r & \Longrightarrow & Y_r \\ \vdots & & \vdots \\ X_p & & Y_p \\ \hline \end{array} \]
\[\large \mathrm{Var}[\mathbf{y}]:\ \text{Máxima}\]
Ideia básica da técnica de Análise de Componentes Principais:
\[ \begin{array}{c @{\quad} c @{\quad} c} \hline \textbf{Variáveis Originais} & & \textbf{Componentes Principais} \\ \hline X_1 & \text{ACP} & \color{red}{Y_1} \\ X_2 & \Longrightarrow & \color{red}{Y_2} \\ \vdots & & \color{red}{\vdots} \\ X_p & & \color{red}{Y_r} \\ & & \vdots \\ & & Y_p \\ \hline \end{array} \]
\[\scriptsize \text{As } r \text{ primeiras componentes resumem, por exemplo, } 80\% \text{ do comportamento geral das } p \text{ variáveis originais.} \]
Algebricamente: são combinações lineares das \(p\) variáveis originais, \(X_1, X_2, \cdots, X_p\).
Geometricamente: são as coordenadas dos pontos amostrais em um sistema de eixos obtido pela rotação do sistema de eixos original, na direção de variabilidade máxima.
\[ \Huge \href{https://setosa.io/ev/principal-component-analysis}{\text{🔎}} \]
\[\textrm{Var}[Y_1] \geqslant \textrm{Var}[Y_2] \geqslant \cdots \geqslant \textrm{Var}[Y_p]\]
\[Y_i = a_{i1}X_1 + a_{i2}X_2 + \cdots + a_{ip}X_p = \mathbf{a}_i^t \mathbf{x}\]
\[\mathbf{a}_i^t \mathbf{a}_i = \displaystyle{ \sum_{j=1}^p a_{ij}^2} = 1\]
\[\mathbf{a}_i^t \mathbf{a}_k = \displaystyle{ \sum_{j=1}^p a_{ij}a_{kj}} = 0\]
\[ \textbf{💡 Garantia: } \quad \text{ortogonalidade, componentes não correlacionadas, independência} \]
\[ {\color{red}{\Large \textbf{Primeira Componente Principal}}} \]
\[Y_1 = a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + \cdots + a_{1p}X_p = \boldsymbol{a}_1^t \mathbf{x}\]
Objetivo: Encontrar \(\boldsymbol{a}_1^t = [a_{11} \hspace{0.3cm} a_{12} \hspace{0.3cm} \cdots \hspace{0.3cm} a_{1p}]^t\) tal que:
\[ {\color{red}{ \rm{Var}[Y_1]\ \text{seja máxima}}} \]
Sujeita à restrição:
\[\boldsymbol{a}_1^t \boldsymbol{a}_1 = a_{11}^2 + a_{12}^2 + \cdots + a_{1p}^2 = 1\]
\[ {\color{red}{\Large \textbf{Segunda Componente Principal}}} \]
\[Y_2 = a_{21}X_1 + a_{22}X_2 + \cdots + a_{2p}X_p = \boldsymbol{a}_2^t \mathbf{x}\]
Objetivo: Encontrar \(\boldsymbol{a}_2^t = [a_{21} \hspace{0.3cm} a_{22} \hspace{0.3cm} \cdots \hspace{0.3cm} a_{2p}]^t\) tal que:
\[ {\color{red}{ \rm{Var}[Y_2]\ \text{seja máxima}}} \]
Sujeita à restrição:
\[\boldsymbol{a}_2^t \boldsymbol{a}_2 = a_{21}^2 + a_{22}^2 + \cdots + a_{2p}^2 = 1\]
\[\rm{Cov}[Y_1,Y_2] = 0\]
\[ {\color{red}{\Large \textbf{i-ésima Componente Principal}}} \]
\[Y_i = a_{i1}X_1 + a_{i2}X_2 + \cdots + a_{ip}X_p = \boldsymbol{a}_i^t \mathbf{x}\]
Objetivo: Encontrar \(\boldsymbol{a}_i^t = [a_{i1} \hspace{0.3cm} a_{i2} \hspace{0.3cm} \cdots \hspace{0.3cm} a_{ip}]^t\) tal que:
\[ {\color{red}{ \rm{Var}[Y_i]\ \text{seja máxima}}} \]
Sujeita à restrição:
\[\boldsymbol{a}_i^t \boldsymbol{a}_i = a_{i1}^2 + a_{i2}^2 + \cdots + a_{ip}^2 = 1\]
\[\rm{Cov}[Y_,Y_k] = 0, \text{para } k < i\]
\[\boldsymbol{\mu} = [\mu_1 \hspace{0.3cm} \mu_2 \hspace{0.3cm} \cdots \hspace{0.3cm} \mu_p]^t \hspace{0.5cm} \textrm{e} \hspace{0.5cm} \boldsymbol{\Sigma} = \left[ \begin{array}{cccc} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1p} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \cdots & \sigma_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{p1} & \sigma_{p2} & \cdots & \sigma_{pp} \end{array} \right]\]
Teorema - Maximização de formas quadráticas: Seja \(\boldsymbol{B}\) uma matriz positiva definida com autovalores \(\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_p > 0\) e autovetores associados normalizados \({\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_p}\). Então:
\[\max_{\mathbf{x} \neq \boldsymbol{0}} \dfrac{\mathbf{x}^t \boldsymbol{B} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^t \mathbf{x}} = \lambda_1, \text{ obtido quando } \mathbf{x} = \boldsymbol{e}_1;\]
\[\min_{\mathbf{x} \neq \boldsymbol{0}} \dfrac{\mathbf{x}^t \boldsymbol{B} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^t \mathbf{x}} = \lambda_p, \text{ obtido quando } \mathbf{x} = \boldsymbol{e}_p.\]
\[\max_{\mathbf{x} \perp \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_k} \dfrac{\mathbf{x}^t \boldsymbol{B} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^t \mathbf{x}} = \lambda_{k+1}, \text{ obtido quando } \mathbf{x} = \boldsymbol{e}_{k+1}.\]
Assim, no contexto de componentes principais, seja \(\mathbf{x} = [X_1 \hspace{0.3cm} X_2 \hspace{0.3cm} \cdots \hspace{0.3cm} X_p]^t\) um vetor aleatório. Seja \(\boldsymbol{\Sigma}\) a matriz de variâncias e covariâncias e \((\lambda_1, \boldsymbol{e}_1)\), \((\lambda_2, \boldsymbol{e}_2)\), …, \((\lambda_p, \boldsymbol{e}_p)\) seus autovalores e autovetores, tal que \(\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_p > 0\). Então:
\[\max_{\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}} \dfrac{\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{a}} = \max_{\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}}(\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{a}) = \lambda_1, \text{ obtido quando } \boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_1;\]
\[\min_{\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}} \dfrac{\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{a}} = \min_{\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}}(\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{a}) = \lambda_p, \text{ obtido quando } \boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_p.\]
\[\max_{\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_k} \dfrac{\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{\Sigma} {\boldsymbol a}}{\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{a}} = \max_{\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_k}(\boldsymbol{a}^t \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{a})= \lambda_{k+1}, \text{ obtido quando } \boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_{k+1}.\]
\[Y_i = {\boldsymbol{e}_i^t}\mathbf{x} = e_{i1}X_1 + e_{i2}X_2 + \cdots + e_{ip}X_p\]
\[ \begin{aligned} E[Y_i] &= E[e_{i1}X_1 + e_{i2}X_2 + \cdots + e_{ip}X_p] \\ &= e_{i1}E[X_1] + e_{i2}E[X_2] + \cdots + e_{ip}E[X_p] \\ &= e_{i1}\mu_1 + e_{i2}\mu_2 + \cdots + e_{ip}\mu_p \\ &= \boldsymbol{e}_i^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\mu} \end{aligned} \]
\[ \textrm{Var}[Y_i] = \textrm{Var}[{\boldsymbol{e}_i^t}\mathbf{x}] = {\boldsymbol{e}_i^t} \textrm{Var}[\mathbf{x}] {\boldsymbol{e}_i} = {\boldsymbol{e}_i^t} \boldsymbol{\Sigma} {\boldsymbol{e}_i} = {\boldsymbol{e}_i^t} \lambda_i {\boldsymbol{e}_i} = {\boldsymbol{e}_i^t} {\boldsymbol{e}_i}\lambda_i = \lambda_i \]
\[\boldsymbol{O} = \left[ \begin{array}{cccc} e_{11} & e_{21} & \cdots & e_{p1} \\ e_{12} & e_{22} & \cdots & e_{p2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e_{1p} & e_{2p} & \cdots & e_{pp} \end{array} \right] = [{\boldsymbol{e}_1} \hspace{0.5cm} {\boldsymbol{e}_2} \hspace{0.5cm} \cdots \hspace{0.5cm} {\boldsymbol{e}_p}]\]
e \(\boldsymbol{y}\) o vetor das componentes principais. Então, \(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{O}^t \mathbf{x}\) e a matriz de covariâncias de \(\boldsymbol{y}\) será:
\[\textrm{Var}[\boldsymbol{y}] = \textrm{Var}[\boldsymbol{O}^t \mathbf{x}] = \boldsymbol{O}^t \textrm{Var}[\mathbf{x}] \boldsymbol{O} = \boldsymbol{O}^t \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{O} = \boldsymbol{\Lambda}\]
sendo
\[\boldsymbol{\Lambda} = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_p \end{array} \right] \]
ou ainda, \(\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{O} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{O}^t = \displaystyle \sum_{i=1}^p \lambda_i \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_i^t\), uma vez que \(\boldsymbol{O}\) é uma matriz ortogonal tal que \(\boldsymbol{O} \boldsymbol{O}^t = \boldsymbol{O}^t \boldsymbol{O} = \boldsymbol{I}\). Estes resultados são conhecidos como Teorema da decomposição espectral.
\[ \begin{array}{c @{\quad} c @{\quad} c @{\quad} c} \hline \textbf{Variável} & \textbf{Variância} & \textbf{Componente} & \textbf{Variância} \\ \hline X_1 & \sigma_{11} & Y_1 & \lambda_1 \\ X_2 & \sigma_{22} & Y_2 & \lambda_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ X_p & \sigma_{pp} & Y_p & \lambda_p \\ \text{Total} & \sigma_T^2 = \displaystyle\sum_{j=1}^p \sigma_{jj} = \mathrm{tr}(\boldsymbol{\Sigma}) & \text{Total} & \lambda_T = \displaystyle\sum_{j=1}^p \lambda_j = \mathrm{tr}(\boldsymbol{\Lambda}) \\ \hline \end{array} \]
\[\rm{tr}(\boldsymbol{\Sigma}) = \rm{tr}(\boldsymbol{O} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{O}^t) = \rm{tr}(\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{O}^t \boldsymbol{O}) = \rm{tr}(\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{I}) = \rm{tr}(\boldsymbol{\Lambda})\]
\[\sigma_T^2 = \lambda_T\]
\[\displaystyle{\frac{\textrm{Var}[Y_j]}{\textrm{Variância Total de X}}} = \displaystyle{\frac{\lambda_j}{\textrm{tr}(\boldsymbol{\Sigma})}} = \displaystyle{\frac{\lambda_j}{\displaystyle{\sum_{i=1}^p \lambda_i}}}\]
da variação total original, e ainda, que as \(r\) primeiras componentes explicam
\[\displaystyle{\frac{ \displaystyle \sum_{j=1}^r \textrm{Var}[Y_j]}{\textrm{Variância Total de X}}} = \displaystyle{\frac{\displaystyle \sum_{j=1}^r \lambda_j}{\textrm{tr}(\boldsymbol{\Sigma})}} = \displaystyle{\frac{\displaystyle \sum_{j=1}^r \lambda_j}{\displaystyle{\sum_{i=1}^p \lambda_i}}}\]
da variação total.
\[\boldsymbol{\Sigma} \approx \displaystyle \sum_{i=1}^r \lambda_i \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_i^t\]
\[\rho_{Y_i,X_j} = \displaystyle{\frac{e_{ij} \sqrt{\lambda_i}}{\sqrt{\sigma_{jj}}}}\]
\[\boldsymbol{S} = \left[ \begin{array}{cccc} s_{11} & s_{12} & \cdots & s_{1p} \\ s_{21} & s_{22} & \cdots & s_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{p1} & s_{p2} & \cdots & s_{pp} \end{array} \right]\]
\[\hat{Y}_j = {\hat{\boldsymbol{e}}_j^t}\mathbf{x} = \hat{e}_{j1}X_1 + \hat{e}_{j2}X_2 + \cdots + \hat{e}_{jp}X_p, \,\,\,\,\,\, j = 1, 2, \cdots, p\]
\[\boldsymbol{S} = \displaystyle \sum_{j=1}^p \hat{\lambda}_j \hat{\boldsymbol{e}}_j \hat{\boldsymbol{e}}_j^t\]
\[\boldsymbol{S} \approx \displaystyle \sum_{j=1}^r \hat{\lambda}_j \hat{\boldsymbol{e}}_j \hat{\boldsymbol{e}}_j^t\]
\[\small \text{12 empresas, 3 variáveis: ganho bruto }(X_1)\text{, ganho líquido }(X_2)\text{ e patrimônio acumulado }(X_3) \]
\[\scriptsize \begin{array}{l @{\quad} r @{\quad} r @{\quad} r} \hline \textbf{Empresa} & \textbf{Ganho bruto }(X_1) & \textbf{Ganho líquido }(X_2) & \textbf{Patrimônio }(X_3) \\ \hline \mathit{E1} & 9893 & 564 & 17689 \\ \mathit{E2} & 8776 & 389 & 17359 \\ \mathit{E3} & 13572 & 1103 & 18597 \\ \mathit{E4} & 6455 & 743 & 8745 \\ \mathit{E5} & 5129 & 203 & 14397 \\ \mathit{E6} & 5432 & 215 & 3467 \\ \mathit{E7} & 3807 & 385 & 4679 \\ \mathit{E8} & 3423 & 187 & 6754 \\ \mathit{E9} & 3708 & 127 & 2275 \\ \mathit{E10} & 3294 & 297 & 6754 \\ \mathit{E11} & 5433 & 432 & 5589 \\ \mathit{E12} & 6287 & 451 & 8972 \\ \hline \end{array} \]
load <- function(pkg){
new.pkg <- pkg[!(pkg %in% installed.packages()[, "Package"])]
if (length(new.pkg))
install.packages(new.pkg, dependencies = TRUE)
sapply(pkg, require, character.only = TRUE)
}
## Pacotes utilizados nessa análise
packages = c("tidyverse", "factoextra", "psych", "gridExtra")
load(packages) tidyverse factoextra psych gridExtra
TRUE TRUE TRUE TRUE dados <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/tiagomartin/est014/refs/heads/master/dados/empresas.txt", row.names = 1, header = TRUE)
dados %>%
str()'data.frame': 12 obs. of 3 variables:
$ Granho_Bruto : int 9893 8776 13572 6455 5129 5432 3807 3423 3708 3294 ...
$ Ganho_Liquido: int 564 389 1103 743 203 215 385 187 127 297 ...
$ Patrimonio : int 17689 17359 18597 8745 14397 3467 4679 6754 2275 6754 ...
## Analise de Componentes Principais utilizando a matriz de covariancias (Nao aconselhavel, neste caso)
acp_S = prcomp(dados)
## Proporcao da variacao explicada
summary(acp_S)Importance of components:
PC1 PC2 PC3
Standard deviation 6440.0615 1.594e+03 145.23266
Proportion of Variance 0.9418 5.767e-02 0.00048
Cumulative Proportion 0.9418 9.995e-01 1.00000 PC1 PC2 PC3
Granho_Bruto -0.42509725 -0.89970680 -0.09909593
Ganho_Liquido -0.02766083 -0.09651661 0.99494694
Patrimonio -0.90472493 0.42569029 0.01614231## Opcional: trocar sinal da primeira componente e escores
acp_S$rotation = -acp_S$rotation
acp_S$x = -acp_S$x
## Loadings (cargas)
acp_S$rotation PC1 PC2 PC3
Granho_Bruto 0.42509725 0.89970680 0.09909593
Ganho_Liquido 0.02766083 0.09651661 -0.99494694
Patrimonio 0.90472493 -0.42569029 -0.01614231\[Y_1 = 0,425 \times \text{GB} + 0,028 \times \text{GL} + 0,905 \times \text{PA} \Longrightarrow 94,18\% \text{ da informação total de } \mathbf{x}\]
\[\Large \color{red}{\textbf{Qual a variável mais importante para } Y_1 \textbf{?}}\]
\[\Large \textbf{Patrimônio}\]
\[\Huge \color{red}{🤔 \textbf{Será?}}\]
\[\boldsymbol{z} = \boldsymbol{D}^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})\]
\[\text{Cov}(\boldsymbol{z}) = \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{D}^{-1} = \boldsymbol{P} = \text{Cor}(\mathbf{x})\]
\[Y_j = \boldsymbol{e}_j^t \boldsymbol{z} = \boldsymbol{e}_j^t \boldsymbol{D}^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) = {e}_{j1}Z_1 + {e}_{j2}Z_2 + \cdots + {e}_{jp}Z_p\]
sendo \(\boldsymbol{e}_j\), o \(j\)-ésimo autovetor da matriz \(\boldsymbol{P}\), \(j = 1, \cdots p\).
\[\sum \limits_{j=1}^p \text{Var}(Y_j) = \sum \limits_{j=1}^p \text{Var}(Z_j) = p\]
\[\dfrac{\text{Var}({Y}_j)}{\text{Variância total de } \boldsymbol{z}} = \dfrac{{\lambda}_j}{\text{tr} (\boldsymbol{P})} = \dfrac{{\lambda}_j}{p}\]
\[\rho_{Y_j,Z_k} = e_{jk} \sqrt{\lambda_j}\]
Retenha apenas as componentes associadas a um autovalor maior que 1.
Se PCA foi feita na matriz de covariâncias, retenha PCs com autovalores maiores que a média dos autovalores.
Então, se uma componente tem autovalor:
\[\lambda_k > \dfrac{\sum \limits_{j=1}^p \lambda_j}{p}\]
ela retém mais informação do que a variância média por dimensão do espaço original.
O ponto onde a curva deixa de cair abruptamente e começa a “horizontalizar” é onde você para de manter componentes.
Compare seus autovalores reais com autovalores esperados ao acaso.
Parallel analysis suggests that the number of factors = NA and the number of components = 1 \[\small \text{12 empresas, 3 variáveis: ganho bruto }(X_1)\text{, ganho líquido }(X_2)\text{ e patrimônio acumulado }(X_3) \]
\[\scriptsize \begin{array}{l @{\quad} r @{\quad} r @{\quad} r} \hline \textbf{Empresa} & \textbf{Ganho bruto }(X_1) & \textbf{Ganho líquido }(X_2) & \textbf{Patrimônio }(X_3) \\ \hline \mathit{E1} & 9893 & 564 & 17689 \\ \mathit{E2} & 8776 & 389 & 17359 \\ \mathit{E3} & 13572 & 1103 & 18597 \\ \mathit{E4} & 6455 & 743 & 8745 \\ \mathit{E5} & 5129 & 203 & 14397 \\ \mathit{E6} & 5432 & 215 & 3467 \\ \mathit{E7} & 3807 & 385 & 4679 \\ \mathit{E8} & 3423 & 187 & 6754 \\ \mathit{E9} & 3708 & 127 & 2275 \\ \mathit{E10} & 3294 & 297 & 6754 \\ \mathit{E11} & 5433 & 432 & 5589 \\ \mathit{E12} & 6287 & 451 & 8972 \\ \hline \end{array} \]
Granho_Bruto Ganho_Liquido Patrimonio
E1 1.173173832 0.50452133 1.3779065
E2 0.811732638 -0.12914781 1.3216486
E3 2.363632341 2.45622228 1.5327010
E4 0.060698607 1.15267434 -0.1468530
E5 -0.368371244 -0.80264757 0.8166914
E6 -0.270325871 -0.75919598 -1.0466384
E7 -0.796146767 -0.14363167 -0.8400185
E8 -0.920402290 -0.86058304 -0.4862757
E9 -0.828181394 -1.07784103 -1.2498488
E10 -0.962144379 -0.46227672 -0.4862757
E11 -0.270002289 0.02655375 -0.6848831
E12 0.006336816 0.09535212 -0.1081544
attr(,"scaled:center")
Granho_Bruto Ganho_Liquido Patrimonio
6267.4167 424.6667 9606.4167
attr(,"scaled:scale")
Granho_Bruto Ganho_Liquido Patrimonio
3090.4059 276.1694 5865.8429 
## Analise de Componentes Principais utilizando a matriz de correlacoes (Mais aconselhavel, neste caso)
acp_R = prcomp(dados, scale. = TRUE)
## Proporcao da variacao explicada
summary(acp_R)Importance of components:
PC1 PC2 PC3
Standard deviation 1.5788 0.6508 0.28978
Proportion of Variance 0.8308 0.1412 0.02799
Cumulative Proportion 0.8308 0.9720 1.00000 PC1 PC2 PC3
Granho_Bruto -0.6167027 0.001267206 0.7871952
Ganho_Liquido -0.5567945 0.706196936 -0.4373395
Patrimonio -0.5564690 -0.708014324 -0.4348080## Opcional: trocar sinal da primeira componente e escores
acp_R$rotation = -acp_R$rotation
acp_R$x = -acp_R$x
## Loadings (cargas)
acp_R$rotation PC1 PC2 PC3
Granho_Bruto 0.6167027 -0.001267206 -0.7871952
Ganho_Liquido 0.5567945 -0.706196936 0.4373395
Patrimonio 0.5564690 0.708014324 0.4348080 PC1 PC2 PC3
E1 1.7711764 0.6177995 -0.1037449
E2 1.1641454 1.0259213 -0.1208101
E3 3.6781699 -0.6523976 -0.1200063
E4 0.5975165 -0.9180660 0.3924755
E5 -0.2196218 1.1455233 0.2940545
E6 -1.1718486 -0.2045506 -0.5743139Parallel analysis suggests that the number of factors = NA and the number of components = 1 \[Z_{GB} = \dfrac{\text{Ganho Bruto} - \overline{\text{Ganho Bruto}}}{s_{\text{Ganho Bruto}}}\]
\[Z_{GL} = \dfrac{\text{Ganho Líquido} - \overline{\text{Ganho Líquido}}}{s_{\text{Ganho Líquido}}}\]
\[Z_{PA} = \dfrac{\text{Patrimônio} - \overline{\text{Patrimônio}}}{s_{\text{Patrimônio}}}\]
\[Y_1 = 0,617 \times Z_{GB} + 0,557 \times Z_{GL} + 0,556 \times Z_{PA} \Longrightarrow 83,08\% \text{ da informação total de } \boldsymbol{z}\]
\[Y_2 = -0,001 \times Z_{GB} - 0,706 \times Z_{GL} + 0,708 \times Z_{PA} \Longrightarrow 14,12\% \text{ da informação total de } \boldsymbol{z}\]
Interpretação do biplot
\[\cos(\theta_j, PC_i) = \text{loading}_{X_j, PC_i}\]
então:
PC1 representa um eixo geral de nível financeiro / escala econômica. Quanto maior Patrimônio / Ganho Bruto / Ganho Líquido → mais à direita o indivíduo aparece.
Quem está mais pra direita (E1, E2, E3) → são aqueles com valores altos nessas variáveis
Quem está mais pra esquerda (E8, E9, E10…) → são os com valores baixos
A empresa E12 posiciona-se muito próxima à origem do plano principal, indicando um perfil mediano em todas as variáveis financeiras consideradas.
